15-08-2023
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Para entender mejor los distintos operadores podemos basarnos en su representación matricial que es completamente equivalente. Pero ¿cómo podemos llegar a esta conexión?.
Supongamos una matriz A de dimensión m × n , podemos ver un operador lineal que “coge” un vector del espacio vectorial Cn y “devuelve” un vector de dimensión Cm bajo la multiplicación de la matriz A por un vector en Cn.
Es decir, si cogemos la definición de operador lineal (función que es lineal en la entrada), esta es cierta siempre y cuando, la operación sea una multiplicación de A (matriz) por un vector columna:
$$A \left( \sum_{i}^{} a_i|\psi_i\rangle \right) = \sum_{i}^{} a_i A(|\psi_i\rangle)$$
¿Y como podemos obtener la representación matricial de un operador lineal? Supongamos un operador lineal:
A : V → W
Además |v1⟩,⋯,|vm⟩ es base de V y |w1⟩,⋯,|wm⟩ es base de W. Por cada j en el rango 1, ⋯, m existen números complejos A1j a través de Anj tal que:
$$A|v_j\rangle = \sum_{i}^{} A_{ij}|w_i\rangle,$$
la matriz cuyos valores son Aij es la representación matricial del operador A . ¡Esta representación de A es completamente equivalente a su operador A!
Matrices fundamentales en computación cuántica, sobretodo a la hora de trabajar con circuitos y ver las transformaciones de las puertas cuánticas:
$$\sigma_{0}\equiv I \equiv \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$\sigma_{x}\equiv X \equiv \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$$
$$\sigma_{y}\equiv Y \equiv \begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0\end{bmatrix}$$
$$\sigma_{z}\equiv Z \equiv \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$$
La matriz I suele ser omitida al ser la matriz identidad 2 × 2.
Sistema matemático que consiste en un n-tupla formado por un conjunto llamado dominio, junto con una o más operaciones. Para un conjunto C y un conjunto de operaciones o1...on:
[C,o1,...,on]
denota el sistema.
Sistema algebraico formado por un dominio y dos operaciones: ‘suma’ y ‘producto’. Estas operaciones deben cumplir unos requisitos para ser consideradas válidas.
Por ejemplo dada la terna (C,+,⋅) es un anillo donde C es un conjunto y + con ⋅ son operaciones cerradas en C.
Disciplina que se encarga de estudiar con más formalidad los espacios vectoriales y sus operaciones lineales.
En resumidas cuentas, un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos llamados vectores.
Se definen dos operaciones fundamentales, la suma y el producto escalar. Es una estructura algebraica con diez axiomas fundamentales.
En cuántica los espacios vectoriales que más nos interesan son ℂ y sus productos vectoriales ℂn. En este caso la operación adición es la suma básica de números complejos y lo mismo sucede con la multiplicación de un escalar.
Los espacios vectoriales también contienen un vector especial llamado ‘zero vector’ que para todo espacio vectorial:
|ψ⟩+0=|ψ⟩
Respecto a la multiplicación por un escalar:
0z = 0
Un subespacio vectorial W es un subconjunto (no vacío) de un espacio vectorial V que es también un espacio vectorial y por tanto las operaciones de adición y multiplicación escalar deben ser cerradas.
En un espacio vectorial una base es un conjunto de vectores mediante los cuales todos los vectores del espacio se pueden obtener como combinación lineal de estos. Es usual que un espacio vectorial tenga más de una base.
Un conjunto de vectores ( sin incluir el vector cero ) es linealmente dependiente si exsite una combinación lineal ebtre ellos que los iguale a cero. Siendo an un número complejo:
a1|ψ1⟩+a2|ψ2⟩ + ... + an|ψn⟩ = 0
Un operador lineas entre dos espacios vectoriales V y W es cualquier función
A : V → W
que sea lineal en su entrada. Es decir:
$$A \left( \sum_{i}^{} a_i|\psi_i\rangle \right) = \sum_{i}^{} a_i A(|\psi_i\rangle)$$
Cuando hablamos de un operador lineal definido en un espacio vectorial :
A : V → V
Un operador lineal importante (ejemplo) es el operador identidad, el cual:
IV|ψi⟩=|ψi⟩,
∀|ψi⟩ ∈ V
Supongamos 3 espacios vectoriales X, W, y V con dos operadores lineales:
A : V → W
B : W → X
La composición viene dada por la notación BA|ψ⟩
Una función (⋅,⋅) tal que:
V × V → ℂ
es producto interno de un espacio complejo, si satisface:
$$\left( |v\rangle, \sum_{i}^{} \lambda_i|w_i\rangle \right) = \sum_{i}^{} \lambda_i ( |v\rangle, |w_i\rangle )$$
(|v⟩,|w⟩) = (|w⟩,|v⟩)*
(|v⟩,|v⟩) ≥ 0 con igualdad sí y solo sí |v⟩ = 0
Por ejemplo, ℂn tiene un producto interno definido como:
$$((y_1, ... , y_n),(z_1, ... , z_n)) \equiv \sum_{i}^{} y_{i}^{*} z_{i} = [ y_{1}^{*} ... y_{n}^{*} ] \begin{bmatrix}z_{1} \\ ... \\ z_{n}\end{bmatrix}$$
En una dimensión finita en los espacios vectoriales que se ven en información y computación cuántica un Espacio de Hilbert es lo mismo que un espacio vectorial con producto interno. (Realmente esto no es del todo así, hay una condición más, pero esto es suficiente):
Discussions of quantum mechanics often refer to Hilbert space. In the finite dimensional complex vector spaces that come up in quantum computation and quantum information, a Hilbert space is exactly the same thing as an inner product space. From now on we use the two terms interchangeably, preferring the term Hilbert space. In infinite dimensions Hilbert spaces satisfy additional technical restrictions above and beyond inner product spaces, which we will not need to worry about. — M. A. Nielsen and I. Chuang. 2002. Quantum computation and quantum information. American Association of Physics Teachers.
Un tensor nos permite juntar espacios vectoriales para generar otros aún más grandes. Sea V y W dos espacios vectoriales, definimos el tensor V ⊗ W como el conjunto de combinaciones lineales de los productos tensoriales |v⟩⊗|w⟩ de los elementos |v⟩ ∈ V y |w⟩ ∈ W.
To better understand the various operators we can rely on their matrix representation which is completely equivalent. But how can we arrive at this connection.
Suppose a matrix A of dimension m × n , we can see a linear operator that “takes” a vector from vector space Cn and “returns” a vector of dimension Cm under the multiplication of matrix A by a vector in Cn.
That is, if we take the definition of linear operator (function that is linear in the input), this is true as long as the operation is a multiplication of A (matrix) by a column vector:
$$A \left( \sum_{i}^{} a_i|\psi_i\rangle \right) = \sum_{i}^{} a_i A(|\psi_i\rangle)$$
And how can we obtain the matrix representation of a linear operator? Let’s suppose a linear operator:
A : V → W
Moreover |v1⟩,⋯,|vm⟩ is basis of V and |w1⟩,⋯,|wm⟩ is basis of W. For every j in rank 1, ⋯, m there exist complex numbers A1j through Anj such that:
$$A|v_j\rangle = \sum_{i}^{} A_{ij}|w_i\rangle,$$
the matrix whose values are Aij is the matrix representation of the operator A . This representation of A is completely equivalent to its operator A!
Fundamental matrices in quantum computing, especially when working with circuits and seeing quantum gate transformations:
$$\sigma_{0}\equiv I \equiv \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$\sigma_{x}\equiv X \equiv \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$$
$$\sigma_{y}\equiv Y \equiv \begin{bmatrix}0 & -i \\ i & 0\end{bmatrix}$$
$$\sigma_{z}\equiv Z \equiv \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$$
The I matrix is usually omitted as the 2 × 2 identity matrix.
A mathematical system consisting of an n-tuple formed by a set called a domain, together with one or more operations. For a set C and a set of operations o1...on:
[C,o1,...,on]
denota el sistema.
Algebraic system formed by a domain and two operations: ‘sum’ and ‘product’. These operations must meet certain requirements to be considered valid.
For example given the tern (C,+,⋅) is a ring where C is a set and + with ⋅ are closed operations on C.
Discipline that deals with the more formal study of vector spaces and their linear operations.
Briefly, a vector space is a nonempty set V of objects called vectors.
Two fundamental operations are defined, the sum and the scalar product. It is an algebraic structure with ten fundamental axioms.
In quantum the vector spaces we are most interested in are ℂ and their vector products ℂn. In this case the addition operation is the basic addition of complex numbers and so is the multiplication of a scalar.
Vector spaces also contain a special vector called a ‘zero vector’ that for every vector space:
|ψ⟩+0=|ψ⟩
Regarding multiplication by a scalar:
0z = 0
A vector subspace W is a (non-empty) subset of a vector space V which is also a vector space and therefore addition and scalar multiplication operations must be closed.
In a vector space a basis is a set of vectors by which all the vectors of the space can be obtained as a linear combination of these. It is usual for a vector space to have more than one basis.
A set of vectors (not including the zero vector) is linearly dependent if there exists a linear combination between them that equals zero. Being an a complex number:
a1|ψ1⟩+a2|ψ2⟩ + ... + an|ψn⟩ = 0
A linear operator between two vector spaces V and W is any function
A : V → W
that is linear in its input. That is to say:
$$A \left( \sum_{i}^{} a_i|\psi_i\rangle \right) = \sum_{i}^{} a_i A(|\psi_i\rangle)$$
When we speak of a linear operator defined on a vector space:
A : V → V
An important linear operator (example) is the identity operator, which:
IV|ψi⟩=|ψi⟩,
∀|ψi⟩ ∈ V
Suppose 3 vector spaces X, W, and V with two linear operators:
A : V → W
B : W → X
The composition is given by the notation BA|ψ⟩
A function (⋅,⋅) such that:
V × V → ℂ
is an inner product of a complex space, if it satisfies:
$$\left( |v\rangle, \sum_{i}^{} \lambda_i|w_i\rangle \right) = \sum_{i}^{} \lambda_i ( |v\rangle, |w_i\rangle )$$
(|v⟩,|w⟩) = (|w⟩,|v⟩)*
(|v⟩,|v⟩) ≥ 0 with equality if and only if |v⟩ = 0
For example, ℂn has an inner product defined as:
$$((y_1, ... , y_n),(z_1, ... , z_n)) \equiv \sum_{i}^{} y_{i}^{*} z_{i} = [ y_{1}^{*} ... y_{n}^{*} ] \begin{bmatrix}z_{1} \\ ... \\ z_{n}\end{bmatrix}$$
In a finite dimension in the vector spaces seen in quantum information and computation a Hilbert Space is the same as a vector space with inner product. (Actually this is not quite so, there is one more condition, but this is enough):
Discussions of quantum mechanics often refer to Hilbert space. In the finite dimensional complex vector spaces that come up in quantum computation and quantum information, a Hilbert space is exactly the same thing as an inner product space. From now on we use the two terms interchangeably, preferring the term Hilbert space. In infinite dimensions Hilbert spaces satisfy additional technical restrictions above and beyond inner product spaces, which we will not need to worry about. — M. A. Nielsen and I. Chuang. 2002. Quantum computation and quantum information. American Association of Physics Teachers.
A tensor allows us to put together vector spaces to generate even larger ones. Let V and W be two vector spaces, we define the tensor VÒtimesW as the set of linear combinations of the tensor products. |v⟩⊗|w⟩ de los elementos |v⟩ ∈ V y |w⟩ ∈ W.